Himpunanpenyelesaian dari persamaan di atas adalah {1 6 𝜋,2 3 𝜋} Contoh 2: Tentukan akar-akar dari persamaan trigonometri berikut kemudian tuliskan himpunan penyelesaiannya. 1. 2cos𝑥−√3=0,0°≤𝑥≤360° 2. sin(𝑥−30°)=1 2 √3,0°≤𝑥≤360° 3. √3sin𝑥=cos𝑥,0°≤𝑥≤360° Alternatif Penyelesaian: 1.

Salah satu pembahasan pada materi trigonometri adalah menyelesaikan persamaan trigonometri. Biasanya, soal yang diberikan pada persamaan trigonometri adalah untuk menentukan himpunan penyelesaian yang terdiri atas sudut-sudut yang memenuhi persamaan trigonometri. Sebagaimana yang sobat idschool ketahui bahwa bentuk grafik fungsi trigonometri bersifat periodik. Bentuknya akan berulang sama pada rentang tertentu. Sehingga, nilai fungsi trigonometri dari sebuah persamaan tidak hanya memiliki nilai tunggal. Misalkan pada fungsi Sin x = ½, nilai x yang memenuhi tidak hanya 30o sebagaimana yang diketahui bahwa nilai Sin 30o = ½. Selain besar sudut 30o yang dapat memenuhi persamaan Sin x = ½, ada nilai lain yang dapat memenuhi persamaan tersebut. Salah satu nilai, selain x = 30o, yang dapat memenuhi persamaan Sin x = ½ adalah x = 150o. Melalui halaman ini, sobat idschool dapat mempelajari cara menyelesaikan persamaan trigonometri dan menentukan semua himpunan penyelesaian yang memenuhi syarat yang diberikan pada soal. Table of Contents Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Sinus Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Cosinus Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Tangen Contoh Soal dan Pembahasan Contoh 1 – Persamaan Trigonometri Contoh 2 – Persamaan Trigonometri Contoh 3 – Persamaan Trigonometri Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Sinus Grafik fungsi sinus bersifat periodik membentuk bukit dan lembah yang saling terhubung satu sama lain. Oleh sebab itu, nilai fungsi sinus untuk satu besar sudut akan sama dengan nilai fungsi sinus untuk besar sudut lain. Misalkan nilai fungsi Sin 45o yang sama nilainya dengan nilai fungsi Sin 135o yaitu ½√2. Kondisi ini dikarenakan nilai sinus dalam satu periode bersifat periodik. Nilai tertinggi fungsi y = sin x adalah 1, sedangkan nilai terendah fungsi y = sin x adalah –1. Secara umum, persamaan trigonometri untuk fungsi sinus diberikan seperti persamaan di bawah. Contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi sinus. SoalTentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan 2 Sin 2x – 60o – √3 = 0, 0 ≤ x ≤ 360o Pembahasan Menyelesaikan persamaan2 Sin 2x – 60o – √3 = 02 Sin 2x – 60o = √3Sin 2x – 60o = ½√3 Berdasarkan hasil persamaan akhir yang diperoleh di atas, maka dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya. 2x – 60o = 60o + k ⋅ 360o2x = 60o + 60o + k ⋅ 360o2x = 120o + k ⋅ 360ox = 60o + k⋅180o Dan 2x – 60o = 180o – 60o + k ⋅ 360o2x – 60o = 120 + k ⋅ 360o2x = 120o + 60o + k ⋅ 360o2x = 180o + k ⋅ 360ox = 90o + k ⋅ 180o Diperoleh dua persamaan akhir yaitu x = 60o + k⋅180 atau x = 90o + k ⋅ 180o. Selanjutnya, akan diselidiki pada beberapa nilai k untuk mendapatkan himpunan penyelesaiannya. Untuk k = 0x = 60o + k ⋅ 180o → x = 60ox = 90o + k ⋅ 180o → x = 90o Untuk k = 1x = 60o + k⋅180o → x = 240ox = 90o + k⋅180o → x = 270o Untuk nilai k = 2 dan lebih akan menghasilkan nilai x yang lebih dari 240o, sehingga perhitungan dicukupkan sampai nilia k = 1. Jadi, himpunan penyelesaian yang diperoleh adalah {60o, 90o, 240o, 270o}. Baca Juga Limit Fungsi Trigonometri Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Cosinus Grafik fungsi cosinus juga bersifat periodik, membentuk bukit dan lembah. Pada satu periode pada fungsi y = cos x dimulai dari 1 satu dan kembali ke 1 satu. Nilai tertinggi fungsi y = Cos x adalah 1 dan nilai terendah dari fungsi y = cos x adalah –1. Nilai fungsi cosinus untuk satu besar sudut akan sama dengan nilai fungsi cosinus untuk besar sudut lain. Misalkan nilai fungsi Cos 60o yang sama nilainya dengan nilai fungsi Cos 300o, yaitu ½. Secara umum, persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus diberikan seperti persamaan di bawah. Contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus. SoalTentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 Cos x – √3 = 0, 0 ≤ x ≤ 360o. Pembahasan Menyelesaikan persamaan2 Cos x – √3 = 02 Cos x = √3Cos x = ½√3Cos x = Cos 30o Berdasarkan rumus umum persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus diperoleh dua persamaan berikut. x1 = 30o + k ⋅ 360ox2 = 150o + k ⋅ 360o Selanjutnya, akan diselidiki untuk beberapa nilai k. Untuk k = 0x1 = 30o + k ⋅ 360o → x1 = 30ox2 = 150o + k ⋅ 360o → x2 = 150o Untuk nilai k = 1 atau lebih akan menghasilkan nilai x yang melebihi rentang yang diberikan. Sehingga, perhitungan sampai di sini. Dan diperoleh himpunan penyelesaian yang di cari, yaitu {30o, 150o}. Baca Juga Integral Fungsi Trigonometri Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Tangen Grafik fungsi tangen berbeda dengan grafik fungsi sinus dan cosinus, grafiknya tidak membentuk bukit dan lembah. Hal ini dikarenakan nilai tangen yang tidak terdefinisi pada besar sudut 90o dan 270o. Sehingga, dalam rentang 0o sampai 360o terdapat dua buah asimtot. Sama seperti fungsi sinus dan cosinus, nilai tertinggi fungsi y = tan x adalah 1 dan nilai terendahnya adalah –1. Secara umum, persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus diberikan seperti persamaan di bawah. Contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi tangen. SoalTentukan himpunan penyelesaian dari persamaan tan 60 – ½x = Cot x +120o, 0 ≤ x ≤ 360o. Pembahasan Menyelesaikan persamaanTan 60o – ½x = Cot x + 120oTan 60o – ½x = Tan 90o – x + 120oTan 60o – ½x = Tan 90o – x – 120oTan 60o – ½x = Tan – x – 30o60o – ½x = – x – 30o + k⋅180ox – ½x = –30o – 60o + k⋅180o½x = –90o + k⋅180ox = 2–90o + k⋅180ox = –180o + k⋅360o Selanjutnya akan ditentukan nilai x yang memenuhi untuk beberapa nilai k. Untuk k = 0x = –180o + k⋅360o → x = –180oNilai x dari hasil perhitungan di atas tidak memenuhi karena di luar rentang yang diberikan. Selanjutnya, akan diselidiki untuk nilai k = 1,x = –180o + k⋅360o → x = 180o memenuhi Untuk nilai k = 2 atau lebih, akan menghasilkan nilai x yang berada di luar rentang. Sehingga hanya terdapat satu himpunan penyelesaian untuk x yaitu 180o. Baca Juga Rumus Trigonometri Sudut Pertengahan Contoh Soal dan Pembahasan Selain contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri yang telah diberikan di atas, terdapat variasi soal pengembangan dengan identitas trigonometri dan materi lain, misalnya persamaan fungsi kuadrat. Variasi contoh soal tersebut dapat dilihat pada kumpulan beberapa contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri yang diberikan di bawah. Contoh 1 – Persamaan Trigonometri Diketahui Sin α + Cos α = ⅓, 0o ≤ α ≤ 180o. Maka nilai Sin α – Cos α adalah ….A. 1/4√17B. 1/3√17C. 1/2√17D. 2/3√17E. √17 Pembahasan Menentukan nilai 2 Sin α Cos α Menghitung nilai Sin α – Cos αSin α – Cos α2 = Sin2α + Cos2α – 2 Sin α Cos αSin α – Cos α2 = 1 – 2 Sin α Cos αSin α – Cos α2 = 1 – –8/9Sin α – Cos α2 = 1 + 8/9Sin α – Cos α2 = 9/9 + 8/9 = 17/9Sin α – Cos α = √17/9 Menyederhanakan nilai Sin α – Cos αSin α – Cos α = √17/9Sin α – Cos α = √17/√9Sin α – Cos α = √17/3Sin α – Cos α = 1/3 √17 Jadi, nilai Sin α – Cos α adalah 1/3√17. Jawaban B Contoh 2 – Persamaan Trigonometri Himpunan penyelesaian dari Cos 2x + 7 Sin x – 4 = 0 dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah ….A. 30o dan150 oB. 30o dan 135 oC. 45o dan 150 oD. 60o dan 150 oE. 60o dan 135 o Pembahasan Menyederhanakan persamaanCos 2x + 7 Sin x – 4 = 01 – 2 Sin2x + 7 sin x – 4 = 0– 2 Sin2x + 7 sin x – 3 = 0 Misalkan p = sin x, maka–2p2 + 7 p – 3 = 02p – 1 –p + 3 = 0p = ½ atau p = –3 Untuk p = ½Sin x = ½ → x = 30o, 150o Untuk p = –3 tidak ada nilai x yang memenuhi karena maksimal nilai pada fungsi trigonometri adalah 1 atau –1. Sehingga, nilai x yang memenuhi adalah 30o dan 150o. Jawaban A Contoh 3 – Persamaan Trigonometri Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri – √3 Cos x + Sin x = √2, 0o < x < 360o adalah ….A. {135o, 215o}B. {105o, 215o}C. {105o, 195o}D. {135o, 195o}E. {105o, 135o} Pembahasan Ubah persamaan menjadi bentuk a Cos x + b Sin x = k Cos x – α Menentukan nilai kk2 = a2 + b2k2 = –√32 + 12k2 = 3 + 1 = 4k = √4 = 2 Menentukan nilai αα = arctan b/aα = arctan –1/√3 = 150o Sehingga,– √3 Cos x + Sin x = √22 Cos x – 150o = √2Cos x –150o = ½√2 Diperolehx –150o = 45o + k⋅360ox = 195o + k⋅360o ataux –150o = – 45o + k⋅360ox = 105o + k⋅360o Sekarang, akan dicari nilai x untuk beberapa nilai k. Untuk k = 0x = 195o + k⋅360o → x = 195ox = 105o + k⋅360o→ x = 105o Untuk k = 1 dan seterusnya akan menghasilkan nilai di atas 360o. Nilainya tidak dicari karena tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian. Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {105o, 195o}. Jawaban C Sekian pembahasan mengenai cara menyelesaikan persamaan trigonometri. Secara ringkas, cara menyelesaikan persamaan trigonometri untuk menentukan besar semua sudut yang memenuhi dapat dilihat melalui tabel di bawah. Terimakasih sudah mengunjungi idschooldotnet, semoga bermanfaat. Baca Juga Aturan Cosinus Materi dan Contoh Soal + Pembahasan

Tentukanhimpunan penyelesaian dari persamaan tan ( 60 - ½x) = Cot (x +120 o), 0 ≤ x ≤ 360 o. Pembahasan: Menyelesaikan persamaan: Contoh 2 - Persamaan Trigonometri. Himpunan penyelesaian dari Cos 2x + 7 Sin x - 4 = 0 dengan 0 o ≤ x ≤ 360 o adalah . A. 30 o dan150 o B. 30 o dan 135 o C. 45 o dan 150 o D. 60 o dan 150 o